Session 10のつづき

Exercise 3

上のexerciseの結果と、antipodal map が不動点を持たないという事実を使って、不動点定理からretraction定理を導け。

において、Tをone-point spaceと、
Xをdisk、Aをdiskの境界線とすると、AがXのretractであれば先の結果より、
Aが不動点を持たないことになる。Xは不動点をもつので、AはXのretractではない、つまりretractionは存在しない、ということが導ける。線分でも球でも同様。

不動点定理から、inclusion mapがretractionを持たないことだけでなく、すべてのmap がretractitonを持たない、つまりCがDのretractではない事がしめせた。
これは、すべての次元について同様になりたつ。

5. How to understand a proof:The objectification and 'mapification' of concepts

ここまでは、'continuous map'についての正確な定義を行ってこなかった。
ここでは、この性質について説明するとともに、axiom 1 とaxiom 2 が成り立つすべてのカテゴリーで同じ性質が成り立つことをみる。