Session 10のつづき - Conceptual Contexture

Exercise 2

AはXのretractである、つまりAとXの間に $A \longr^s X \longr ^r A$ $r \circ s = 1_A$ となるmapが存在する。
XがTからのmapに対して不動点propertyを持っている（不動点を持つ性質がある）、つまりXのすべてのendomap $X \longr^f X$ に対して、 $T \longr^x X$ 　 $fx=x$ となるmap xが存在する。
このときAもまたTからの不動点propertyを持つことを示せ。

あるAのendomapを gとする。（ $A \longr^g A$ ）
$X \longr ^r A \longr^g A \longr^s X$ から
このgと、r s を合成して、Xのendomapをつくり、それをfとする(
$f = s \circ g \circ r$
$X \longr^f X$
)
このfに対して、Tが持つ不動射をxとする。
$f\circ x=x$
これより、
$f\circ x= s \circ g \circ r \circ x = x$
両辺に左からrを合成して
$r \circ s \circ g \circ r \circ x = r \circ x$
$r \circ s = 1_A$ より
$g \circ ( r \circ x) = (r \circ x)$
これにより、gは、 $T \longr ^{r \circ x} A$ $g \circ ( r \circ x) = (r \circ x)$ となる
不動射を持つことが示せた。