■ - Conceptual Contexture

つづき。
$F$ 自体が、isomorphismであることを示すために、 $F$ のinverse
$Isom(A,B) \longr^S Aut(A)$
を次のように作る。
$S(g)=f^{-1}\circ g$
なんだか、Fとかfとか混ざってややこしくなってきた。
もう一度整理すると、まず、Isom(A,B)のひとつの要素を選んで、これを $f$ とする。
Isom(A,B)の要素なので、当然inverseがある。これが $f^{-1}$ 。
この $f$ と、 $f^{-1}$ を使って、
$Auto(A) \longr^F Isom(A,B) \longr^S Aut(A)$
の $S$ と $F$ を、
$F(\alpha ) = f \circ \alpha$
$S(g ) = f^{-1} \circ g$
のように作ることができる。
あとは、 $S$ が $F$ のinverseであることを確かめればいい。
$(F \circ S)(g)=F(S(g))=f \circ f^{-1} \circ g = 1_B \circ g = g$
が、すべてのgについて成り立つので、
$F \circ S = 1_{Isom(A,B)}$
であり、
$(S \circ F)(\alpha)=S(F(\alpha))=f^{-1} \circ f \circ \alpha = 1_A \circ \alpha = \alpha$
が、すべての $\alpha$ について成り立つので、
$S \circ F = 1_{Aut(A)}$
これで、 $F$ と $S$ が互いにinverseであることが示せた。

category of permutations

automorphismのsetはpermutationだと。特定の方法で、要素を並び替えることとみなせるから。
このpermutationのcategoryを考える。
このcategoryのobjectは、あるset Aと、Aの、あるautomorphism $\alpha$ のセット。
$A\longr^\alpha A$ から $B\longr^\beta B$ へのmapは、

$f \circ \alpha = \beta \circ f$ を満たすようなAからBへのmap $A \longr^\f B$ になる。

（これは、 $A \longr^\f B$ がそのまま相当するという意味か？すこしあいまいではっきりとわからない。）
つぎに、mapの合成について考える。

・・・一瞬眠ってしまった。
あとは明日にしてもう寝よう。