■ - Conceptual Contexture

isbn:0521478170 の、p.56あたりから読む。

automorphismとisomorphismとpermutationの続き。

昨日よくわからないまま寝てしまったところの続きから。

一般的に、isomorphism $A \longr^f B$ が存在すれば、その数は、
automorphism $A \longr^f A$ と同数である。
これを、"数える"ことなしに考える。
同数であるとは、集合間にisomorphismが存在することである。
なので、
isomorphism $A \longr^f B$ のすべての集合 $Isom(A,B)$
automorphism $A \longr^f A$ のすべての集合 $Aut(A)$ 、
を考える、と。

$Auto(A)$ は、 $1_A$ が必ず存在するので、空であることはない。
$Isom(A,B)$ の要素 $f$ がひとつは存在するときを考える。
$f$ を使って、
$F(\alpha )=f \circ \alpha$ を定義して、（ $\alpha$ はAのautomorphismsのどれか。）
$Auto(A) \longr^F Isom(A,B)$
を作る。

$\begin{array} \qquad A \\ \qquad ^{\alpha} \Huge\nearrow \qquad \Huge\searrow \Large^f \qquad \\ \quad A \Huge \longr _ {\large F(\alpha)=f \circ \alpha}\large \qquad B \end{array}$

$F(\alpha)$ は、 $Isom(A,B)$ の要素である。（isomorphism同士の合成もまたisomorphismになるから。）
ここで、（ $F(\alpha)$ でなく） $F$ 自体が、isomorphismであることを示す。
isomorphismである