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Category 読書メモ Conceptual Mathematics

ARTICLE 2 Isomorphismsの続き。

4. Isomorphisms and automorphisms　のメモ

sectionとretractionを使ってisomorphismを定義する。
fのretractionであり、同時にsectionであるようなmapをfのinverse mapとよびf^{-1}とかく。
\begin{array}\Large A &\begin{array} \longr^{f}\\ \longl_{f^{-1}}\end{array}& \Large B \end{array}
f \circ f^{-1} = 1_B
f^{-1} \circ f = 1_A
このfのように、その（sectionでありretractionである）inverse mapが存在するmapをisomorphismという。

Exercise 11

A={Fatima, Omer, Alysia} B={cofee,tea,cocoa}
であるとき、isomorphism A \longr^f Bは見つかるか。
C={true, false}とすると、isomorphism A \longr^f Cは見つかるか。

isomorphism A \longr^f Bは見つかるが、isomorphism A \longr^f Cは見つからない。

automorphism

domainとcodomainが同じisomorphism A \longr^f Aを、automorphismという。

Exercise 12

A={Fatima, Omer, Alysia}のautomorphismは3*2*1=6個、A→Bのisomorphismも同じく６個。

automorphismとisomorphismとpermutation

ここがよく分からない。
一般的に、isomorphism A \longr^f Bが存在すれば、その数は、
automorphism A \longr^f Aと同数である。
これを、"数える"ことなしに考える。
同数であるとは、集合間にisomorphismが存在することである。
なので、
isomorphism A \longr^f Bのすべての集合Isom(A,B)
automorphism A \longr^f Aのすべての集合Aut(A)、
さらにそれらのmap F
Auto(A) \longr^F Isom(A,B)を考える、と。
もう眠いのでここまで。