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Category 読書メモ Conceptual Mathematics

ARTICLE 2 Isomorphismsの続き。

2. General division problems　のメモ

3 × x = 21 → x = 7
のように、mapにおける割り算にあたるものはなにか、と。
ふつうの掛け算だと、3 × x = 21 もx × 3 = 21 も同じだけれど、
mapだとg\circ fとf\circ gで全く違う意味になるので、
h = g\circ fのとき、fが既知かgが既知かで問題も変わってくる。
\begin{array} \qquad B \\ \qquad ^f \Huge\nearrow \qquad \Huge\searrow \Large^g \qquad \\ \quad A \Huge \longr _ {\large h}\large \qquad C \end{array}
hとfが既知でgを求める問題をdetermination problems、
hとgが既知でfを求める問題をchoice problems、という。

3. Retractions, sections, and idempotents のメモ

A \longr^f Bのとき、
r\circ f = 1_Aとなるようなrを、fのretraction
f\circ s = 1_Bとなるようなrを、fのsection
という。
retraction problem はdetermination problemの特別な場合で、
sectionsproblem はchoice problemの特別な場合である。
掛け算のたとえで言うと、
retraction やsectionは、
3×x = 1を求める場合に相当する。その解、1/3が求まれば、
あとは3×x = 5のような一般的な問題の解を、x = (1/3) × 5として求めることができる。

\begin{array} \qquad B \\ \qquad ^f \Huge\nearrow \qquad \Huge\searrow \Large^g \qquad \\ \quad A \Huge \longr _ {\large 1_{\small A}}\large \qquad A \end{array}

4 monomorphisms

setのcategoryではinjectiveであることはmonomorphismであることの必要十分条件だが、
一般的には、injectiveだからmonomorphismとは限らないらしい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Monomorphism
http://en.wikipedia.org/wiki/Injective