■

Category 読書メモ Conceptual Mathematics

ARTICLE 2 Isomorphismsの続き。

2. General division problems　のメモ

epimorphism

injectiveならretractionがあるし、retractionがあれば必ずmonomorphism
surjectiveならsectionがあるし、sectionがあれば必ずepimorphism
ということでいいのだろうか。それぞれどれが必要条件で十分条件なのか
はっきりわからない。

Definition:idempotent

e \circ e = eとなるような、endomap(domaintとcodomainが同じ A \longr^f Aであるmap)を、idempotentという。
つまり、一度eでmapするのと、二回続けてeでmapするのがおなじ、ってことだから、
たとえば、A={a,b}として、
\begin{array} a &\to&a \\ &\nearrow \\b && b\end{array}
だったら、
\begin{array} a &\to&a &\to&a\\ &\nearrow &&\nearrow \\b && b&&b\end{array}
で二度やっても同じだな。

Exercise 9

  • A \longr^f B \longr^r Aとして、1_A = r \circ fであるとき、つまりrがfのretractionであるとき、Bのendomapであるee = f \circ rが、idempotentであることを示せ。

\begin{array}e\circ e = (f \circ r)\circ (f \circ r)= f \circ (r\circ f) \circ r = f \circ 1_A \circ r = f \circ r = e \end{array}

  • .同じ条件で、fがisomorphismであるとき、eがidentityであることを示せ。

fがisomorphismであるとは、
p.40の定義から、g \circ f = 1_A かつf \circ g = 1_B である map B \longr^g Aが存在することである。
たぶん、g = rであることを示せばいいのだろう。
r = r \circ 1_B = r \circ (f \circ g) = (r \circ f) \circ g = 1_A \circ g = g
よって
e = f \circ r = f \circ g = 1_B
おわり。