■ - Conceptual Contexture

昨日の続きの前に、もう一度最初から読み直すことに。
ARTICLE 1のメモ

ARTICLE 1 　Sets,maps,composition

categoryの定義をきちんとするまえに、categoryの具体例、「有限のsetsとmapsのcategory」に慣れよう。

object

このcategoryに含まれる"object"は、有限のset。
たとえば{John, Mary, Sam}って書くし、
丸かいてその中に、John・のようにラベルつきの点を書いていけば、（ラベルがなくて点だけでも）
internal diagramとして表すことができる。

map

このcategoryに含まれる"map" fは、次の３点から構成される。

mapのdomainとなる、あるset A
mapのcodomainとなる、あるset B
domainに含まれる各要素を、codomainに含まれる要素のどれかひとつに"結びつける"ルール。

aがdomainに含まれる要素、bがcodomainに含まれる要素であるとき、bをf・a（本当は白丸）とか、f(a)と書いて、"f of a"と読む。
mapは、function,transformation,operator,arrow,morphismなどとも言う。

endomap

domainとcodomainが同じobjectであるmapをendomapという。
endomapの場合は、domainとcodomainを別に書いて、
{A, B}
↓　↓
{B, A}
とかくのと、domainでありcodomainであるobjectをひとつだけinternal diagramで書いて、

｛Ａ　→　Ｂ｝
　　　←
こんな風に書くこともできる、と。(図が描けないのでちょっと苦しい。)

identity map

domainがA、codomainもAであるようなendomap fのうち、Aの各要素a についてf(a)=aとなるfを
"identity map"という。
「object{a, b, c}上のidentity map」、とかA={a, b, c}としておいて $1_A$ と書き表したりする。

external diagrams

それぞれのobjectをただの文字で表し（要素を書かずに）、それぞれのmapを、一本の矢印であらわすのをexternal diagramsという、と。
A={1,2},B={a,b}のようなとき、
$A \longr^{f}B$
こんな感じ。

composition of maps

$A \longr^{g}A\longr^{f}B$
$A \longr^{f\circ g}B$

point

要素がひとつだけの集合、singleton setを、' $\mathbb 1$ 'と呼ぶ。
$\mathbb 1$ から、有限集合へのmapは、codomainの要素と一対一対応になる。
このようなmap $\mathbb 1 \longr X$ を pointと呼ぶ。
pointは、あくまでもmapなので、他のmapと合成できる。
合成した結果も、pointになったりする。

ARTICLE 1 Sets,maps,composition