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"Conceptual Mathematics"が、どうもとても良い感じ（最初のハードルが低くてしかも面白い）なので、本腰を入れて読むことに。

http://math.ucr.edu/home/baez/topos.html
ここでも、「Topos理論の入門で、最初に読むのに最適。最初は簡単で子供っぽいくらいだけど、だんだん難しくなるから練習問題をちゃんと解きながらよまないとわかんなくなるよ」というような趣旨の紹介がなされている。

1.Isomorphisms
人が数を数えることを学ぶ前に、あるコレクション同士が、ある観点から見ると「同じ」であるということに気づく必要があるだろう、と。たとえば、
A={a, b, c} B={太郎, 次郎,　三郎}
のとき、AとBは「同じ」だと。
これはもちろん、AもBも、中身を数えればどちらも３個だという点が同じなのだが、
そもそも「数を数える」ということを覚えるまえだったら、いったいどうやって
「同じ」だということがわかるだろうか？、ちょっと考えてみろ、と。
ちょっと考えてみる。
たとえば、「俺のまえにも、あいつのまえにも、お菓子がいくつかおいてある。
俺と奴、同時にひとつずつ食べていく。」という状況を考えれば、「先におれの方がすべてなくなった。やつの前にはまだお菓子がある。」となれば、最初にあったお菓子は「違う」と思うし、「同時に両方なくなった」のなら「同じ」だった、と思うだろう。
同じことだけど、たとえば机の上に、白い碁石と、黒い碁石がばらばらとおいてあるとする。ここで、、
黒と白を同時にひとつずつ取り去る、もしくは脇によけていけば、黒と白が「同じ」かどうかが確かめられる。
もしくは、黒と白を、ひとつずつ「ペア」にしていけば、すべてペアにして残りが何もなければ同じだし、黒か白、どちらか片方だけが残ったときは、「違う」ことが分かる。

・・・。ちょっと考えてみた。
本に戻る。

{a,　　　b,　　c }
　↓　　↓　　↓
{太郎, 次郎,　三郎}
このようにmap f を選べるなら、「同じ」だといえるだろう、と。
対応付けさえできれば、数えることができなくても同じかどうかわかるよね、と。